Temas
Archivos
Enlaces
Matemáticas
Ciencia
Escepticismo
Bitácoras amigas
Divulgación
Estadísticas
Otros
|
Se muestran los artículos pertenecientes al tema Teoremas.
01/03/2005
El Teorema de Pick (y 3)
Para intentar encontrar la fórmula de Pick
correspondiente a polígonos con agujeros hay que tener presente que un
agujero en un polígono de Pick es, individualmente considerado, otro
polígono de Pick (esta vez sin agujeros!!!)
Llamemos P al
polígono original, con IP puntos internos y
BP puntos frontera. Llamaremos H a un hueco
simple en el mismo, siendo IH el número de puntos que
caen en el hueco; y BH el número de puntos de la
frontera del hueco. Llamemos PH al polígono P con
el hueco H.
Tanto P como H cumplen el teorema
de Pick tal y como lo hemos visto en los dos posts anteriores, para las
areas respectivas del polígono completo y del hueco podemos
escribir:
AP = IP + BP/2 – 1
(ecuación 1)
AH = IH + BH/2 – 1
(ecuación 2)
En cambio, para el área del polígono con el hueco tan
sólo sabemos que:
APH = AP - AH
(ecuación 3)
Asimismo, sabemos que la cantidad de puntos internos
de P se ha visto decrementada en tantas unidades como puntos tiene el
hueco, ya sean internos o frontera:
IPH = IP
- IH - BH (ecuación 4)
Y la cantidad de
puntos frontera del polígono se va incrementada al ser agujereado con los
puntos frontera del propio agujero:
BPH = BP
+ BH (ecuación 5)
Ahora no tenemos más que desarrollar
la ecuación 3 :
APH = AP - AH
=
[IP + BP/2 – 1] – [IH +
BH/2 – 1] =
[IP - IH - BH
] + [BP/2 + BH/2] =
IPH +
BPH/2
Vemos que este resultado es parecido al que
conocíamos para el caso de ausencia de agujero, salvo por el hecho de que
ahora no hace falta restar una unidad. Dicho de otra manera: el área del
polígono agujereado es una unidad más grande de lo que cabría esperar de
la extrapolación de la fórmula de Pick para polígonos sin agujeros. ¿Es
que no importa el tamaño o la forma del hueco?
Claro que importa,
pero esa importancia queda perfectamente recogida en el cómputo de los
nuevos puntos interiores y frontera del polígono, una vez que ha sido
agujereado.
Si ahora partiéramos de un polígono de un agujero y
añadiéramos otro más, veríamos incrementarse en otra unidad el resultado.
El cçálculo no es sino una repetición de lo hecho más arriba, de manera
que no lo haremos. Así pues tan sólo importa el número de agujeros,
pudiendo reformular el teorema de la siguiente forma:
Dado un
polígono de Pick con n agujeros, el área del mismo viene dada por
la expresión:
A = I + B/2 - X
Donde X es la característica
de Euler del polígono. Esto es: X=1-n, siendo n el número de
agujeros.
Con esto queda ligado el Teorema de Pick a uno de los
capítulos más bellos de la topología, y con esto terminamos el ciclo.
Espero que les haya gustado.
28/02/2005
El teorema de Pick (2)
Para que no haya
confusión es importante explicar que cuando en este post nos refiramos a
“los puntos de la frontera o del interior” de un polígono cualquiera nos
estaremos refiriendo exclusivamente a los puntos de la malla de Pick de
dichos polígonos. Vamos a demostrar que la función V( P) = I+
B/2 – 1 definida sobre polígonos de Pick explicada en el post anterior es
una función aditiva. Esto es: si el polígono P resulta de la unión
de los polígonos P1 y P2, entonces
: V( P)=v( P1)+v( P2) Sean
pues dos polígonos de Pick P1 y P2,
con I 1 e I 2 puntos de la cuadrícula en el interior
de los mismos; y con B 1 y B 2 puntos de la cuadrícula
en su frontera respectivamente. Llamaremos m al número de puntos
del polígonos resultante P que provienen de la coincidencia de dos
puntos de la frontera de ambos polígonos iniciales. Está claro que dichos
puntos serán puntos internos de P salvo los dos extremos, que
seguirán perteneciendo a la frontera. Así pues, podemos pasar a
comprobar que V( P) es precisamente la suma de
V( P1) y
V( P2). Tenemos: V( P1) =
I 1 + B 1/2 – 1 V( P2) =
I 2 + B 2/2 – 1 V( P) = I + B/2 –
1. El número de puntos internos de P será la suma de los de
los polígonos iniciales P1 y P2 más la
cantidad de puntos frontera de éstos que se han convertido en interiores.
Dicha cantidad es de (m-2), pues los dos puntos extremos de los m que
coinciden siguen siendo frontera en el polígono resultante, convirtiéndose
en interiores los demás. Así pues tenemos que: I =
I 1 + I 2 + m – 2. Respecto a los puntos de la
frontera de P vemos que provienen de los puntos frontera
originales, excepto precisamente los m compartidos, que pasan a ser
internos todos ellos menos los dos extremos. Así pues: B=
B 1 + B 2 - 2m + 2 Ahora estamos en condiciones
de afrontar la prueba de aditividad: V( P) = I + B/2 – 1 =
(I 1 + I 2 + m – 2) + (B 1 + B 2 -
2m + 2)/2 – 1 = = (I 1 + B 1/2 – 1 ) +
(I 2 + B 2/2 – 1) = V( P1) +
V( P2), que es lo que queríamos
demostrar. Queda demostrada la aditividad de la medida propuesta.
Esto no sólo es importante por ser condición necesaria para que dicha
medida sea efectivamente un área, sino porque además nos habilitará para
demostrar que para figuras sencillas como triángulos efectivamente ES un
área. Dado que cualquier polígono de Pick puede triangularse, aplicando la
aditividad quedará demostrado que la fórmula es válida para todos
ellos. La doble arma de poder demostrar lo que queremos para
figuras muy sencillas de forma directa y aplicar luego aditividad para
extender la veracidad de la afirmación a figuras más complicadas nos
habilitará para comprender una interpretación nada evidente de la fórmula
de Pick: los ángulos de visión del polígono dado desde cada uno de los
puntos de la malla. Efectivamente, vean la siguiente
ilustración: Vamos a efectuar el conteo de los
ángulos de visión del polígono desde cada uno de los puntos del mismo. La
unidad del conteo será la circunferencia completa. Comprenderán que un
punto interior como el i de la figura contabiliza como una unidad:
su "angulo de visión del polígono" es la circunferencia entera por
pertenecer al interior del polígono. Un punto como b ,
contabilizará como media unidad, pues pertenece a la frontera sin ser un
vértice, y tiene un ángulo de visión del polígono de media
circunferencia. Si el polígono es un triángulo, los ángulos de visión de
los vértices son precisamente los propios ángulos de los vértices, que
suman siempre media circunferencia (180º), lo que hace media unidad entre
los tres. O lo que es lo mismo: podemos contabilizar dichos vértices como
cualquier punto de la frontera y luego restar una unidad al resultado,
obteniendo la fórmula original de Pick: I+B/2 -1. Dado que lo
anterior es válido para cualquier triángulo y daddo que cualquier polígono
de Pick se puede triangular, basta ver la aditividad de esta "nueva forma
de ver las cosas", pero esto ahora es casi trivial: si tenemos dos
polígonos que se unen, sus puntos respectivos siguen contabilizando como
en los originales salvo cuando pertenecen a la frontera. Si dicha parte de
la frontera no es de la zona de unión, nada ocurre. Si lo es pueden pasar
dos cosas: que el punto pase a ser interior o que continúe siendo frontera
del polígono suma. Si sucede lo primero, dos puntos frontera que
tenían un ángulo de visión de media circunferencia cada uno pasan a ser un
punto interior con un ángulo de una circunferencia completa y se conserva
la aditividad. Si sucede lo segundo, dos vértices se unen en un punto que
sigue siendo un vértice, pero en este caso también se suman los ángulos de
visibilidad, luego también se conserva la aditividad. En suma: el
sumatorio de los ángulos de visibilidad de todos los puntos de la malla de
Pick de un polígono dado nos da el área de dicho polígono, medidos dichos
ángulos en circunferencias completas. ¿No es curioso? En el
próximo post veremos que el teorema de Pick es más potente de lo que
parece: todo lo aquí dicho valía para polígonos de Pick convexos o no
convexos, pero sin agujeros. Una pequeña ampliación en el mismo lo
habilita para todo tipo de polígonos de Pick, incluso con agujeros.
25/02/2005
El Teorema de Pick
En matemáticas nada es tan
inocente como parece, y muchas veces, tras un tema aparentemente anodino
se esconden conceptos sutiles y bellos. Uno de los propósitos de este blog
es precisamente encontrarlos. A primera vista parece que una
cuadrícula pocas sorpresas puede ofrecernos. Y la realidad es bien
distinta. Vamos a echar un vistazo a un teorema poco conocido que se llama
el Teorema de Pick , relativo a polígonos inscritos en una malla
cuadriculada. Comenzaremos delimitando al ámbito de aplicación del
teorema. Diremos, dada una malla cuadriculada que tesela un plano,
que un polígono P es un polígono de Pick relativo a dicha malla
cuando todos los vértices del mismo son puntos de la malla. El
teorema de Pick afirma que: Dado un polígono de Pick, su área
vale A= I+B/2-1 , donde I es el número de puntos de la malla internos al
polígono y B es el número de puntos de la malla pertenecientes a la
frontera del mismo . En la figura que encabeza este post, el
área del polígono valdrá A=31 + 15/2-1= 37’5 No me negarán que es
sorprendente que pueda hallarse la superficie de un polígono, convexo o
no, sencillo o complicado, de una manera tan simple: contando
puntos. Detrás de este simple fórmula hay bastante más de lo que
parece. Empezaremos a desentrañarlos desde el propio concepto de área, que
no es sino la versión bidimensional de un concepto más general: el de
medida. Una medida es una función de conjunto. Esto es radicalmente
diferente a una función numérica habitual, en la que a cada valor de la
variable independiente le corresponde un valor de la función. Una función
de conjunto está definida en el conjunto de partes P(X) de un
conjunto X , de forma que a ciertos subconjuntos Y de X
les corresponde ciertos valores numéricos. Por complejos motivos que
ahora no vamos a mencionar, resulta que en el caso más general no es
posible aplicar una medida a todos los subconjuntos de un conjunto X
dado, sino tan sólo a algunos de ellos. Todos estos forman una
estructura denominada sigma-álgebra. Dado un conjunto X y una
sigma-álgebra > de X , una medida sobre X es una
función de conjunto m que satisface: 1.- la medida del conjunto
vacío es cero. 2.- la medida de una unión finita o al menos numerable
de subconjuntos disjuntos de X es igual a la suma de las medidas de
los subconjuntos. La propiedad 1 es evidente: la nada debe medir
cero para cualquier medida que merezca tal nombre. La propiedad 2 se
denomina aditividad numerable y es bien fácil de entender: ni se
gana ni se pierde área juntando o separando trozos. Pues bien,
dado un polígono de Pick P, es fácil comprobar que v(P)= = I+B/2-1
es efectivamente una medida. La primera propiedad es trivial, porque el
conjunto vacío NO es un polígono de Pick, luego no tiene aplicación la
fórmula, y se le asigna por decreto el cero a tal conjunto. La
aditividad numerable es algo más laboriosa, pero no mucho. De ello nos
encargaremos en el próximo post. Cuando esto esté realizado,
habremos demostrado que la fórmula del teorema de Pick es efectivamente
una medida, y faltará ver que dicha medida se corresponde con el concepto
habitual de área que conocemos todos. Mientras tanto, que pasen un
feliz fin de semana.
17/09/2004
Magia euleriana
Pasamos a explicar lo prometido: cómo consiguió
Euler demostrar que la serie de los inversos de los cuadrados perfectos
convergía a pi cuadrado sextos Euler empezó con
el desarrollo en serie de la función seno. Hay que hacer notar que un
desarrollo en serie NO es un polinomio. Un polinomio tiene un número
finito términos. Una función seno es una función trascentente , y
nunca podría ser expresada como un polinomio. La audacia de
Euler consistió en tratar esta serie como si de un polinomio se tratara.
Llamó P(x) a la serie que expresa la función (sen x )/x, _____________________ ECUACION
(1) ________________ Los valores para los cuales esta función
se anula son los mismos que los valores para los cuales se anula la
función seno, habida cuenta de que el límite de P(x) cuando x tiende a
cero es la unidad, como es sabido. La audacia está
en el paso siguiente: ya que tenemos las raíces de P(x)=0, factoricemos
como si estuviéramos ante un polinomio corriente: Ahora utilizando
el rollo aquel de (a+b)(a-b)=a 2- b 2, podemos agrupar
los factores de dos en dos, obteniendo lo que sigue: _____________________ ECUACION
(2) __________________ Vemos que la serie que represente a P(x)
la podemos expresar de dos formas: como la suma de una serie de potencias
pares de x, ECUACION (1) y como el producto de una serie de
factores todos ellos con x elevado al cuadrado ECUACION (2)
. Según la primera de las maneras, el coeficiente de
x 2 vale –1/3! ; y según la segunda, el coeficiente de
x 2 proviene de multiplicar todos los primeros miembros de los
factores (siempre el 1) menos uno, por el segundo miembro de cada uno de
los factores, y luego sumar todas las posibilidades. Igualando los
coeficientes de x 2 en ambas expresiones, obtenemos: Lo que nos lleva
irremisiblemente a
16/09/2004
Euler y el problema de Basilea
Las
admiraciones de la fórmula que encabeza este post no son factoriales: son
simples exclamaciones que reflejan la sorpresa que produjo en el mundo
matemático el descubrimiento de Euler. Hemos contado cómo las
mentes de los dos hermanos Bernoulli unidas no fueron suficiente para
desentrañar el misterio de la serie de los inversos de los cuadrados
1+1/4+1/9+1/16+... En un post
anterior escribíamos: Los hermanos
Bernoulli, ebrios de gozo por la demostración conseguida (la divergencia
de la serie armónica), intentaron conocer los misterios de otra serie: la
suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos:
1+1/4+1/9+1/16+1/25+... Sin embargo, el
genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el
misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía?
Fué necesario el cerebro del maestro de todos los matemáticos para
desentrañar el misterio, en un alarde de magia euleriana casi sin parangón
en la historia de la matemática. Mengoli y Leibniz se
habían estrellado antes, y ahora los Bernoulli admitían la
derrota: “Grande será nuestra gratitud si alguien encuentra y
nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos” ,
escribía Jakob Bernoulli en su Tractatus. Como escribió en
Basilea, el reto lanzado fue conocido en su tiempo como el problema de
Basilea Por desgracia para él, moría sin que nadie hubiera
podido avanzar en el tema. Hacía falta no uno de los grandes, sino el más
grande del momento para recoger el guante y triunfar donde los demás
habían fracasado. Cuando Euler publicó el resultado, el hermano de
Jakob, Johann escribió: Utinam Frater superstes effet! (Si viviera
mi hermano!). Y no era para menos. La sorpresa por ver el problema de
Basilea resuelto quedaba en nada ante la perplejidad del resultado. PI
CUADRADO SEXTOS !!! La irrupción de la constante pi en un lugar tan
inesperado no era normal. Según la matemática ha ido avanzando, hemos
visto aparecer nuestra querida constante en muchos sitios, pero aquella
vez era una de las primeras, y la sorpresa era grande. Sorpresa sí, pero
no incredulidad. Se habían sumado más de mil términos de la serie,
obteniendo el valor de 1.64393 . Se sabía que la convergencia era lenta,
pero pi cuadrado sextos era el valor buscado, sin duda alguna
(1.1.6449340...) En 1.735, Euler escribía pletórico de felicidad:
...Sin embargo, he encontrado ahora y contra todo pronóstico una
expresión elegante para la suma de la serie 1+1/4+1/9+1/16+etc., que
depende de la cuadratura del círculo... He encontrado que seis veces la
suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la
circunferencia cuyo diámetro es la unidad ¿Cómo consiguió el
mago de los números obtener el resultado? Apartándonos un poco de
la tónica general del blog, en el siguiente post describiremos exactamente
cómo lo hizo. Como en otras ocasiones, he intentado poner un enlace de
algún lugar de la web en el que se explique; pero no lo he encontrado. Así
que lo describiremos aquí. Esto no debiera intimidar a nadie: si el lector
no puede o no le apetece seguirlo, que ignore el post olímpicamente, pues
esto no va a ser un cambio en la tónica general del blog, sino una
excepción, que además me permitirá comprobar si puedo insertar con buenos
resultados fórmulas propias en medio del texto de un post. Les
espero para mostrarles el mejor Euler en acción sacándose del sombrero una
perla de belleza
infinita. ______________________________________________________________________ Como
siempre pasa en matemáticas, desentrañar un misterio sólo sirve para
encontrar otros mucho más difíciles. Efectivamente, la pregunta siguiente
era obvia: qué pasa si el exponente de los denominadores no es 2? Y si es
cualquier valor real? Y el colmo de la perversión: y si es cualquier valor
complejo? Esta última audaz pregunta dió paso a uno de los objetos más
complicados de la matemática (modernos fractales incluidos!!!); la
función zeta de Riemann . Pero, como decía Michael Ende, esta es
otra historia y deberá ser contada en otra ocasión.
08/09/2004
Los Bernoulli y la serie armónica (2)
Ya hemos visto que Leibniz demostró que la serie
de los inversos de los números triangulares convergía a
2: 1+1/3+1/6+1/10+1/15+...=2 La idea de Johann Bernoulli fue
la siguiente; empezó llamando A a la serie armónica sin su primer
término: A=1/2+1/3+1/4+1/5+... Seguidamente transformó las
fracciones de forma que los numeradores fueran sucesivamente 1,2,3,...
todos los números
naturales: A=1/2+2/6+3/12+4/20+5/30+... Podemos comprobar
que estos denominadores son el doble de los correspondientes a la serie de
Leibniz de números triangulares. Bernoulli denominó C a dicha serie entre
dos: C=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+...=1 Y fue creando nuevas
series a base de eliminar el primer término de cada serie
anterior: D=1/6+1/12+1/20+1/30+...=C-1/2
=1-1/2=1/2 E=......1/12+1/20+1/30+...=D-1/6
=1/2-1/6=1/3 F=..............1/20+1/30+...=E-1/12
=1/3-1/12=1/4 G=.....................1/30+...=F-1/20
=1/4-1/20=1/5 Por la propia construcción de estas series, se ve
claro que la suma de todas ellas C+D+E+... es precisamente A ( sumaríamos
1 vez 1/2, dos veces 1/6, tres veces 1/12, etc,etc. Por lo
tanto: C+D+E+F+G+...=A Y dado que tenemos que C=1, D=1/2,
E=1/3, ... también tenemos
que: C+D+E+F+G+...=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...=1+[1/2+1/3+1/4+1/5+...]=1+A Concluimos
la suma C+D+E+F+G+... es tanto A COMO 1+A, de donde A=A+1
qué significa esto? El razonamiento de Bernoulli fue el
siguiente: A=A+1 significa que aumentar en una unidad el valor de A
no influye en el valor de A, cosa que sólo es posible si A es infinito. En
efecto, dividiendo la igualdad entre A, tenemos que 1=1+1/A , lo
que implica que 1/A=0, cosa que sólo ocurre cuando A es
infinito. Porqué esto no se considera riguroso hoy en
día? Bernoulli trata la serie de forma completa, asignándole un
valor A cuando a priori no sabemos si se trata de un valor finito. A
partir de este momento, maneja dicha A como si de un número habitual se
tratara, manejando un infinito actual de forma, digamos holística
(qué poco me gusta esta palabra, tan apreciada por mil
charlatanes!!!). La estrategia moderna es finitista, y la veremos
en el próximo
post. ____________________________________________________________________ A pesar de que su hermano Jakob escribiera en uno de sus
libros al explicar esta demostración: "Id primus deprehendit frater"
(Mi hermano fue el primero en describir esto), lo cierto es que dos
demostraciones de la divergencia de esta serie se habían logrado antes:
las debidas a Nicolás Oresme (1323-1382) y a Pietro Mengoli (1625-1686).
Los hermanos Bernoulli, ebrios de gozo
por la demostración conseguida, intentaron conocer los misterios de otra
serie: la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos:
1+1/4+1/9+1/16+1/25+... Sin embargo, el
genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el
misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía?
Fué necesario el cerebro del maestro
de todos los matemáticos para desentrañar el misterio, en un alarde de
magia euleriana casi sin parangón en la historia de la matemática. Pero no
adelantemos acontecimientos.
14/05/2004
El Teorema de Feuerbach
El Teorema de
Feuerbach ha sido denominado como la joya de la geometría del siglo
XIX . Y realmente no es para menos... Les invito a acercarse un poco
al sabor de dicho teorema; como siempre, sin demostraciones y sin hacer
matemáticas; tan solo paseando agradablemente. Que tres puntos de
un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada
extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres
puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados
tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa
por los tres. Si dados cuatro puntos existe una circunferencia que
pasa por los cuatro, tenemos algo por lo menos curioso: existe alguna
relación entre ellos que se refleja en la pertenencia común a la misma
circunferencia. Según vamos aumentando el número de puntos, más
extraordinario es que todos ellos pertenezcan a la misma circunferencia (o
que todos ellos equidisten de otro punto), o más especialmente elegidos
son dichos puntos. Por eso, la existencia de la circunferencia de
Feuerbach es algo insólito. Dado un triángulo ABC cualquiera,
las alturas son los segmentos de recta que van desde cada vértice hasta el
lado opuesto correspondiente perpendicularmente. En la figura están
pintadas de verde. Las tres alturas se concurren en el mismo punto,
llamado ortocentro del triángulo (punto M del dibujo). Los puntos
de corte de las alturas con los lados del triángulo se denominan pies
de las mismas(Puntos T a,T b y
T c). Pues bien: los tres pies de las alturas de un
triángulo determinan un círculo, que se llama circunferencia de
Feuerbach del triángulo, y recibe también el nombre de
circunferencia de los nueve puntos . Dicha denominación de
circunferencia de los nueve puntos proviene del extraordinario hecho de
que además de los tres pies citados, también pertenecen siempre a dicha
circunferencia los tres puntos medios de los lados del triángulo(puntos
F a,F b y F c en el dibujo), y los tres
puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el
baricentro(puntos K a,K b y K c en el
dibujo). Nueve puntos, todos ellos en la misma circunferencia .
En la figura tienen también dibujadas las mediatrices del
triángulo (perpendiculares a cada lado por sus puntos medios), que también
concurren en un punto: el circuncentro (punto Q en el dibujo). La
recta que une ambos puntos, circuncentro y baricentro se denomina recta
de Euler . Precisamente el punto medio del segmento QM (punto F) es el
centro de la circunferencia de Feuerbach (Dibujado en gris). Pues
bien, esto no es todo: el Teorema de Feuerbach afirma que la
circunferencia de nueve puntos es tangente a otras cuatro circunferencias:
la inscrita al triángulo y las tres exinscritas. El punto de tangencia de la circunferencia de Feuerbach (en
rojo en la figura anterior) con la inscrita es llamado punto de
Feuerbach Aquí
tienen una demostración equivalente al teorema de Feuerbach que no utiliza
apenas arsenal analítico. Belleza en estado puro, ¿no es así?
13/05/2004
El Teorema de Wallace-Simson
Seguimos con
nuestro paseo por los hermosísimos parajes de la geometría plana de los
triángulos. Supongamos que tenemos un triángulo cualquiera,
definido por sus vértices A,B,C como en la figura(triángulos azules). Dado
un punto cualquiera P (en gris en las figuras), que puede ser exterior o
interior al triángulo, tracemos las tres perpendiculares desde dicho punto
hasta los tres lados del triángulo, o hasta sus prolongaciones en su
caso. Los puntos P 1,P 2,P 3 de
intersección determinan un triángulo que denominaremos Triángulo podal
del triángulo ABC relativo al punto P. Lo tenemos en rojo en las
figuras. Resulta que este triángulo degenera en un segmento en
determinados casos. En la figura de la derecha podemos ver que para el
punto P elegido, los puntos P 1,P 2,P 3
están alineados, con lo que el triángulo podal es un
segmento. Cuando esto ocurre, la recta definida por los tres puntos
alineados se denomina Recta de Wallace-Simpson del triángulo dado
respecto al punto P El Teorema de Wallace-Simson afirma
que : El lugar geométrico de todos los puntos P para los cuales
los tres puntos antes citados están alineados es precisamente la
circunferencia circunstrita del triángulo original. Según el
punto P va recorriendo la circunferencia circunscrita al triángulo
original, la recta de Wallace-Simpson correspondiente va
girando. El Teorema de Steiner afirma que la envolvente de
todas las rectas de Wallace.Simpson de un triángulo dado es una
deltoide tricúspide . Aquí
tienen ustedes una generalización del teorema de Wallace-Simson debido a
Don Miguel de Guzmán, recientemente fallecido como hemos comentado hace
unos días. Dicha generalización consiste en no limitar la dirección de las
rectas desde el punto P hasta los lados del triángulo. El propio
Miguel de Guzmán recuerda
su encuentro con el teorema de Steiner tras trabajar con la envolvente de
todas las rectas de Wallace-Simson de un triángulo dado. En la
imagen tienen la deltoide tricúspide de Steiner como envolvente de
una familia de rectas de Wallace-Simson. Por
cierto: Una vez más parece que la historia no ha sido justa. Simson
parece no tener nada que ver con el teorema citado, que es obra
exclusiva de Wallace. Ambos eran matemáticos escoceses, y Wallace
logró su demostración en 1856. En
esta dirección el profesor Guzmán nos propone una demostración
"sencilla" del teorema de la deltoide de Steiner, demostración lograda por
él mismo.
11/05/2004
El teorema de Napoleón Bonaparte
No deja de ser curioso
que un tema tan manido, tan antiguo y tan básico y elemental como la
geometría de los triángulos planos tenga tantas sorpresas. Hace
unos meses comentábamos el teorema de Morley, bello teorema que concierne
a triángulos y que fué demostrado anteayer, como quien dice(en pleno siglo
XX). El teorema que comentamos hoy tiene como curioso, además de su
contenido matemático, la atribución de paternidad: nada menos que al gran
Napoleón Bonaparte. Supongamos un triángulo general cualquiera
(dibujado en azul). Sobre cada uno de sus lados dibujamos un triángulo
equilátero (dibujado en verde). Pues bien: los centros de los trres
triángulos equiláteros forman a su vez un triángulo necesariamente
equilátero (dibujado en rojo), con independencia del triángulo
original. Este es el denominado Teorema de Napoleón
. En esta
dirección podéis ver la demostración, así como los conceptos previos
necesarios para entenderla. Respecto a la paternidad de la
demostración, parece fuera de toda duda que no es de Bonaparte, sino de
Lorenzo Mascheroni , quien sabiendo la pasión del general francés
por la geometría, dedicó su libro Geometria del Compasso (Pavia,
Pietro Galeazzi, anno V della Republica Francese, 1797) a
Napoleon: Según podemos leer en esta
dirección, El aprecio de Napoleón por la obra de Mascheroni
fue grande y la hizo traducir al francés: Mascheroni Lorenzo: _Geometrie
du compas_, Ouvrage traduit de l'italien par
A.M. Carette, Paris,
Duprat, xxiv, 263 pp. 14 plates, 1798.
En todo caso, si por
la relación entre uno y otro, el general se llevó a la posteridad el
nombre del teorema de forma injusta, Mascheroni se desquitó uniéndo su
nombre al del gran Euler en la que hoy en día se conoce como la
constante de Euler-Mascheroni , denominación injusta según explica
estupendamente Mario Bunge en su artículo
publicado en el rincón
matemático. Y es que el tema de las atribuciones y los honores
en los logros científicos es un tema bastante escabroso en general, tanto
o más que el tema de las atribuciones de inventos. Ya hablaremos de ello
en otra ocasión... ADICION
POSTERIOR:
Me escribe Mario Bunge para decirme que:
Por
favor, corregí lo que pusiste sobre Mascheroni: No soy yo quien lo explica
"estupendamente", porque el artículo ese no es mío: es de William Dunham.
Lo único que hice yo fue tipear texto y ecuaciones, y hacer los dibujitos
con el "dibujador" del Word. Todo lo demás es obra de Dunham.
Pues dicho queda. No obstante, no quería dejar pasar la
oportunidad para comentar que el rincón matemático es una página de
interés enorme para todo amante de la matemática.
04/03/2004
Versión infinita del teorema de Ramsey
Comentábamos hace unos días que el Teorema de
Ramsey en su versión inicial es finitista: no hace mención alguna de
conjuntos infinitos. SIn elbargo existe una versión infinita del mismo,
cuyo enunciado podría ser el siguiente:
Dado un conjunto infinito numerable A, si coloreamos todos sus
subconjuntos de k elementos con r colores, entonces existe
un subjonjunto B infinito tal que todos sus subconjuntos de k elementos
llevan el mismo color.
En el lenguaje de los grafos
( lo cual, recordemos, sólo es posible cuando los subconjuntos son de
tamaño k=2), tendríamos:
Si en un grafo
completo infinito numerable coloreamos sus aristas con r colores,
necesariamente tendremos un subgrafo monocromático de tamaño infinito.
Lo realmente extraordinario es que este teorema nos
facilita una demostración inmediata del famoso Teorema de Bolzano
.
Este teorema dice que Toda sucesión infinita de números
reales contiene una subsucesión infinita que es monótona (creciente o
decreciente)
La demostración es interesantísima por su
simplicidad:
Sea A tal sucesión infinita de reales.
Coloreemos todos sus subconjuntos de tres elementos {a,b,c}con cuatro
colores, dependiendo de la disposición de los tres números que forman el
subconjunto:
Color 1: si los tres elementos forman una secuencia
creciente
Color 2: si el central es el mayor de los
tres
Color 3: si el central es el menor de los tres
Color 4:
si los tres elementos forman una secuencia decreciente.
No hay más
posibilidades, de forma que nos bastan cuatro colores para asignar un
color a cada uno de los subconjuntos de tamaño tres de la
sucesión.
Pues bien: la versión infinita de Ramsey nos garantiza la
existencia de un subconjunto infinito de A tal que todos sus
subconjuntos de tres elementos son del mismo color. Es evidente que ese
color sólo puede ser el 1 ó el 4, que corresponderían a la subsucesión
creciente o decreciente del teorema de Bolzano.
Creo
sinceramente que quien no se sorprenda con esta demostración, es que no ha
entendido nada; o tiene la sensibilidad matemática de un
celentéreo.
27/02/2004
El teorema de Ramsey
A diferencia de la mayoría de los post de este blog, este, y
quizás los que sigan exige un poco más de esfuerzo para su comprensión. No
obstante, creo que vale la pena. Vamos a intentar entender un teorema
difícil. Eso nunca NUNCA es gratis. Además, vamos a intentarlo sin
utilizar matemáticas, o casi. Esta vez, el paseo que les propongo es más
escarpado. Pero coincidirán conmigo en que el placer de alcanzar la cumbre
es proporcional a la pendiente dejada a nuestras espaldas.
Naturalmente, la ilustración que encabeza este post, (que es el
enunciado del Teorema de Ramsey ) es una provocación. No es
esperable que nadie entienda absolutamente nada al leer una cosa así. Ni
siquiera nos hemos puesto de acuerdo con la nomenclatura que vamos a
utilizar para entenderlo. Sin embargo, he preferido ponerlo para
incentivar al posible lector a avanzar en la comprensión de este enunciado
y de sus consecuencias, cosa que haremos poco a poco. Toda la
dificultad de comprender el teorema está motivada precisamente por la gran
virtud del mismo: su enorme generalidad. Vayamos viendo poco a poco qué
quiere decir. De esta forma seremos capaces de ir saboreando el aroma de
los resultados a lo Ramsey . Pero antes, estableceremos
algún convenio de notación: Hablaré de conjuntos, clases,
colecciones y grupos en sentido coloquial: en este contexto querrán decir
exactamente lo mismo: agrupaciones de cosas. Dado un conjunto X,
definimos /X/ con el número de elementos de X. Lo
habitual es representar esto último con barras verticales, no oblicuas,
pero el sistema de este blog no parece permitirme tales barras
. PR(X) es el conjunto de todos los
subconjuntos de X que tienen exactamente R elementos. En el
enunciado podemos leer que descomponemos PR(X) en una
serie de trozos disjuntos. Esto quiere decir exactamente lo que parece: si
tenemos un conjunto original X de , por poner un ejemplo, 20 elementos,
P2(X) será la colección de todos los subconjuntos de dos
elementos de X, o el conjunto de todas las parejas posibles de elementos
de X, que son exactamente (20 x 19)/2=190 posibles. El enunciado nos está
diciendo que agrupemos estas 190 parejas en k grupos, no necesariamente
iguales. Sin ninguna restricción. Las colecciones de parejas de nuestro
ejemplo son los A 1,..., A k del
enunciado. Hacer esto equivale a poner una etiqueta a cada
agrupación de parejas. En efecto, lo mismo es decir: ”este
conjunto de parejas pertenece a la colección Aj de parejas”
que decir ”a este conjunto de parejas le pongo la etiqueta
número j”, o aún más gráficamente : ”a este conjunto de
parejas le asigno el color j”. ¿Está claro de momento? No está
de más recordar que si hablo de “parejas” estoy haciendo R=2 en el
enunciado de Ramsey, por simplificar la exposición; lo mismo podíamos
hablar en general de tríos o n-tuplas de elementos de X. Así pues,
en el enunciado tenemos un conjunto X, tenemos la colección
PR(X) de todos sus subconjuntos de un tamaño prefijado
(R) (repetimos: cuando R=2, entonces tenemos parejas), y en este último
grupo tenemos coloreados todas las agrupaciones con k
colores. Ahora estamos en condiciones de entender qué es lo que
afirma el teorema de Ramsey : Afirma que si escribimos
tantos números enteros (a 1,... a k) como colores
hemos usado, sean estos cualesquiera, entonces, si X es suficientemente
grande , existe en el seno del conjunto X un pedazo o
subconjunto que llamaremos Y que cumple alguna de estas
propiedades: 1.- Y tiene tantos elementos como el primero de
los k números que hemos escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño
R son del primer color. 2.- Y tiene tantos elementos como el
segundo de los k números que hemos escrito, y todos sus
subconjuntos de tamaño R son del segundo color. ... k.-
Y tiene tantos elementos como el último de los k números que hemos
escrito, y todos sus subconjuntos de tamaño R son del último
color. El tamaño crítico para asegurar el necesario cumplimiento de
una de estas k cláusulas es función exclusiva de los k números distintos
que hemos escrito, y del tamaño R de los subconjuntos que hemos coloreado,
y no depende de nada más. Este tamaño crítico mínimo se denomina número de
Ramsey R(a1,... ak; r). Cuando
comenzábamos el post decíamos que no era esperable que nadie entendiera el
enunciado del teorema en una primera lectura. Ahora, lo más probable es
que la cosa haya mejorado tan sólo un poquito. Seguiremos hincándole el
diente al tema en lo sucesivo, viendo conexiones con aspectos
inesperados. Lo más importante es que este teorema nos asegura la
existencia de un reducto estructurado (monocromático en la nomenclatura
que hemos empleado, pero a nadie se le escapa que el "color" puede ser
cualquier cosa)de tamaño arbitrariamente grande en el seno de un conjunto,
a condición de que éste sea lo suficientemente grande. La semana
que viene seguiremos comprendiendo este teorema, y sobre todo, sus
implicaciones. Feliz fin de semana para los lectores de este
blog.
07/12/2003
Siete colores sobre un toro
Hemos hablado varias
veces sobre el Teorema de los cuatro colores.Decíamos que era un
ejemplo clásico de dificultad de demostración matemática, aunque el
enunciado era entendible por todo el mundo: Bastan cuatro
colores para colorear cualquier mapa plano o esférico de forma que dos
regiones con frontera común sean de color diferente.Nunca se
podrá encontrar un mapa que necesite más colores. ¿Qué sucede si
el mapa no está sobre un plano o esfera, sino sobre una superficie
toroidal? Imaginen un poliedro
de Szilassi real, construido con un material elástico. Imaginen que
vamos inyectando aire para hinchar el poliedro. Poco a poco sus caras
planas se irán curvando por la presión del aire interno; los vértices irán
perdiendo su agudeza, haciéndose cada vez más romos. Las aristas también
se irán curvando y al final, suponiendo que el material aguante, tendremos
un toro hinchado: como un donut o un neumático. Si a priori
teníamos cada una de las siete caras pintadas de un color, ahora tendremos
un toro, como un neumático de siete colores. Cada una de las primitivas
caras del poliedro se han convertido en un región del toro, con las formas
cambiadas; y sin embargo mantienen sus propiedades esenciales: cara región
tiene frontera común con las otras seis, pues el poliedro de Szilassi
tenía esta propiedad: cada pareja de caras tenía una arista común,
convertida ahora en frontera entre dos regiones. Nos es ahora
completamente evidente que con menos de siete colores es imposible
colorear el toro. Eso no quiere decir que no haya (que las hay) mapeados
de regiones que hagan posible el coloreado con menos colores; pero hemos
hallado una división de la superficie del toro imposible de colorear con
menos de siete colores. Es sorprendente que una superficie sólo
un poco más complicada que una esfera tenga un número cromático
casi el doble que ésta. He leído por ahí que esta reflexión es
una demostración de que el número cromatico del toro es siete, pero no
estoy de acuerdo. Es cierto que siete es el número cromático del toro,
pero con nuestro ejemplo hemos dado una cota inferior para el mismo: no
puede ser menor de siete. Sabemos también que no puede existir un
poliedro con un agujero que tenga más de siete caras si queremos que cada
par de caras tenga frontera común con todas las demás, pero en principio
pudieran existir poliedros de ocho o más caras que, sin exhibir
conectividad completa entre las caras, la tengan suficientemente alta como
para necesitar más de siete colores. No obstante, es mucho más fácil
demostrar convenientemente el Teorema de los siete colores en un
toro que el Teorema de los cuatro colores en un plano.
Es bastante misterioso, pero cierto que en
topología a veces es muy fácil demostrar afirmaciones para espacios
topológicos enrevesados, mientras que las demostraciones para los
sencillos es endiablada, cuando no desconocida. Lo mismo sucede con el
número de dimensiones de los espacios topológicos: hay afirmaciones que no
ofrecen problema alguno en 20, 30 ó 500 dimensiones, mientras que en tres
o cuatro son hoy por hoy imposibles. Esto hace que una de las ramas más
difíciles del asunto se denomine precisamente topología de baja
dimensión.Por cierto; un toro (rumiante) es
topológicamente equivalente a una esfera, y por lo tanto bastarían cuatro
colores.(1) (1) Si obviamos la existencia de tubo digestivo, porque
en caso contrario es equivalente a un cilindro hueco; que a su vez es
equivalente a un toro; esta vez en el sentido geométrico de la
palabra...
10/11/2003
El teorema de Lucas
Para Luis, para que no olvide nunca que detrás de la tormenta
siempre viene la calma. A veces, cuando manejamos
números muy grandes, o muy difíciles de obtener, podemos investigar sus
propiedades sin necesidad de hallar explícitamente dichos números, lo cual
es una gran ventaja. El teorema de Lucas es uno de esos
atajos. Se refiere a los coeficientes binomiales ; esos que
aparecen en el triángulo de Pascal, también llamado de Tartaglia. Dado que
dichos números se obtienen mediante factoriales, en número de operaciones
involucradas crece enormemente cuando los números se van haciendo
mayores. En su versión general, el Teorema de Lucas nos da un
algoritmo muy sencillo para encontrar el resto de dividir cualquier
coeficiente binomial por un primo p . La versión que veremos del
enunciado nos permitirá saber si un coeficiente binomial es par o impar,
que es el caso concreto para p=2. Si construimos un triángulo de
Tartaglia módulo 2, que es exactamente dividir cada número del triángulo
original por dos, y anotar únicamente el resto (que sólo podrá ser 0 ó 1),
obtenemos lo indicado en la figura siguiente: Cada
cero indica que el correspondiente número del triángulo inicial era par, y
cada uno indica lo contrario. Es patente que existe una estructura
anidada: tenemos una plantilla principal D 1 que tiene
2 1=2 filas y tres elementos, todo unos, en la figura en rojo.
Tres de dichas plantillas forman un arreglo triangular D 2 de
2 2=4 filas. Entre las tres, queda un hueco que de momento es el
único cero. Tres plantillas D 2 forman la plantilla del
siguiente orden, D 3, de 2 3=8 filas. Ahora queda un
hueco en forma de triángulo invertido en el que caben seis ceros. El
proceso sigue indefinidamente, en la figura siguiente podemos ver las
sucesivas plantillas generadas como se ha explicado: Cada fila del
triángulo se expresa mediante el parámetro n , que empieza con el
valor cero. Dentro de una fila concreta (esto es: para un n
concreto) el parámetro k va recorriendo los valores que expresan el
puesto del número en la fila, desde 0 para el primer puesto hasta n para
el último y (n+1)-ésimo. EL teorema de Lucas nos dice que basta
comparar los desarrollos en base dos de n y de k para saber si el
coeficiente binomial es par o impar: todos los dígitos del desarrollo de k
deben ser menores o iguales que los correspondientes de n para que el
número sea impar, en caso contrario es par. Como estamos trabajando ahora
con ceros y unos, esto es lo mismo que decir que donde haya un cero en el
desarrollo de n, no puede haber un uno en el desarrollo de k. vemos
un ejemplo. Investiguemos si el quinto elemento de la fila siete
(redordemos que la primera fila, la de la cúspide del triángulo es la fila
cero) es par o impar: n=7 desarrollo binario: 0 1 1 1 k=4
desarrollo binario: 0 1 0 0 como no hay ningún dígito mayor en k
que el correspondiente de n, el número es impar ( de hecho es
35). Para las filas de forma 2 m-1, por ejemplo las filas
7, 15, 31, todos los coeficientes son impares: efectivamente, el
desarrollo binario de dichos números es todo unos, luego k no tiene
la menor posibilidad de tener un dígito más grande que el correspondiente
de n. La potencia del teorma de Lucas es mayor de lo
explicado aquí, pues no se resume en módulo 2, pero baste esta pincelada
para entrever el aroma del teorema completo( que por cierto no es sino un
caso parcial de un resultado más general conocido con el nombre de Teorema
de Kummer).
06/10/2003
El teorema de la bola peluda
Existe una tendencia en
biología a considerar que dada una característica fenotípica (visible,
corporal), hay un motivo genotípico que la causa.Se razona que si existe
tal cosa es porque ha habido una ventaja selectiva para los poseedores de
tal característica. Pondré un ejemplo: se encuentra un fósil de un reptil
volador, el nyctosaurus ; como el relatado aquí. La
existencia de una cresta como la que exhibía el Nyctosaurus da pie a
pensar en las ventajas que podía dar la posesión de tan curioso adorno.
Aunque nunca se pueda saber qué gen era el responsable de esto, se supone
que la característica que observamos es la expresión de las órdenes
grabadas en el genoma del organismo, generadas por los procedimientos
darwinianos de mutación y selección natural. Hasta aquí, todo bien,
sin ningún pero. Sin embargo la intención de este artículo es resaltar el
hecho de que no toda característica observable es la expresión de un gen.
Afortunadamente para los genes, no tienen la necesidad de expresarlo todo.
Hay cosas que vienen dadas por motivos externos a los genes, estos motivos
suelen ser fundamentalmente físicos, pero también matemáticos, y en este
blog vamos a comentar, cómo no, los segundos. Podría hablarles de
la curiosa manía de los vegetales en adorar la sucesión de Fibonacci y el
número de oro, pero prefiero poner otro ejemplo; el anterior está muy bien
tratado en muchos sitios de la web. Si han peinado alguna vez a un
niño, sabrán que existe una zona peliaguda; un puñetero remolino que hace
difícil la tarea. En mi caso es especialmente difícil, pues uno de mis
hijos tiene dos de ellos. Cuando sólo hay uno, puede estar centrado en la
coronilla, o descentrado, pero siempre está ahí, molestando. Lo curioso de
tan intrascendente asunto es que existe una muy buena razón para la
existencia del mismo, y que no es genética. No aporta ninguna ventaja
evolutiva a su poseedor, ni sigue los cauces darwinianos. Es más; aunque
fuera enormemente ventajoso para la supervivencia no poseerlo, jamás
existiría presión selectiva capaz de producir un ser humano sin remolino
(salvo en el caso trivial de seres humanos calvos, se
entiende). ¿Porqué? Pues porque lo prohíbe un teorema
matemático, que a estas alturas no les extrañará que haya sido denominado
jocosamente como El teorema de la bola peluda . Es curioso, pero la
explicación del asunto requiere unos conocimientos previos bastante
fuertes. Sin embargo, el enunciado es muy fácil de entender
cualitativamente: Todo campo de vectores de una esfera
bidimensional posee algún cero Estamos en el dominio de la
topología, y como sabrán si me han leído los mensajes anteriores, una
cabeza humana es topológicamente similar a una esfera bidimensional. ¿Se
puede evitar tal maldición? Bueno, un teorema es un teorema. Eso es
como decir que es una verdad inmutable, eterna. Aún así, hay salidas, que
pasan necesariamente situarse fuera del campo de aplicación del teorema.
Se me ocurren las siguientes: 1.- Solución trivial: ser calvo. Es
una solución que satisface a un número infinitesimal de aspiraciones
estéticas, pero es una solución. 2.- No peinar en absoluto,
entendiendo por no peinar mantener cada pelo erizado; perpendicular al
cuero cabelludo. No es una opción aconsejable, si bien se ve por la calle
gente que se acerca a esta solución. 3.- Confiar en que el
“remolino” esté en un área que no posee pelo, como puede ser la posesión
de una respetable coronilla vacía. Como solución no está mal, pero tampoco
es muy satisfactoria estéticamente. Resumiendo: nuestra vida,
nuestra constitución corporal y nuestro entorno está modelado por
múltiples fuerzas. Algunas son genéticas, pero otras no. Algunas de hecho
son puramente matemáticas. GRACIAS AL paleofreak POR LA CORRECCION DE
ERRORES EN ESTE ARTICULO
26/09/2003
La Alhambra y el Teorema de Fedorov
Un mosaico es
una composición con losetas que reproduce un paisaje o una figura. Cuando
las losetas llenan el plano basándose en simetrías, desplazamientos y
rotaciones, estamos ante un mosaico geométrico. De estos últimos vamos a
hablar ahora. ______ ______ Para
rellenar un plano con losetas ( teselar el plano)de forma periódica,
existen cuatro estrategias: 1.- Traslación. Es como si la
nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva
posición sin giros de ningún tipo. 2.- Rotación. La nueva loseta
surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y
con un ángulo concreto. 3.- Reflexión. Cada loseta nueva es la
imagen especular de una anterior, con un eje de simetría
dado. 4.- Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión
seguida de una traslación en la dirección del eje de
reflexión. ________ ________ Estas cuatro
estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías:
conservan las distancias. Los dos primeros conservan la orientación(
movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos
inversos). Esto es importante, porque cada loseta puede tener dibujos
asimétricos que hagan variar la composición. Estas transformaciones
se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se
denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos
planos . Pues bien, Fedorov demostró en 1891 que no hay más de
17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano
formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos cristalográficos
planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la
cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus
giros. Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar los en
cinco apartados, según el orden máximo de los giros: - Grupos de
simetría sin giros: 4 grupos de simetrías.. - Grupos de simetría con
giros de 180º: 5 grupos de simetrías. - Grupos de simetría con giros de
120°: 3 grupos de simetrías - Grupos de simetría con giros 90°: 3
grupos de simetrías. - Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de
simetrías.Los árabes fueron unos excelentes creadores de
mosaicos geométricos. Dado que su religión les impedía dibujar personas o
animales; su creatividad se decantó hacia la caligrafía y los dibujos
geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad
difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra
no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por
lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para
rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso resulta
impactante que conocieran todos y cada uno de los 17
existentes. Efectivamente, todos ellos están representados en los
variados y bellísimos mosaicos de la Alhambra. Abundan los que tienen
giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen escasamente, pero
absolutamente todos están representados. Aquí
teneis una excelente oportunidad de ver con más profundidad la
estructura de cada uno de los diecisiete grupos de simetrías
planos. Todo lo relatado en este artículo se refiere a
telesaciones periódicas del plano. En los últimos tiempos se han
descubierto novedosas maneras de telesar un plano por procedimientos no
periódicos, de la mano del famoso matemático y especialista de la
relatividad general Roger Penrose , autor además de algún que otro
best seller como La mente del emperador . Otro día hablaremos de
ello. Por cierto, la lista completa de los grupos es la siguiente:
p1: Dos traslaciones p2: Tres simetrías centrales (o giros de
180º) p3: Dos giros de 120º p4: Una simetría central (o giro de
180º) y un giro de 90º p6: Una simetría central y un giro de 120º
pm: Dos simetrías axiales y una traslación pmm: Cuatro simetrías
axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales)
pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales cmm: Dos
simetrías axiales perpendiculares y una simetría central p31m: Una
simetría axial y un giro de 120º p3m1: Tres simetrías axiales en los
lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60) p4g: Una simetría
axial y un giro de 90º p4m: Tres simetrías axiales en los lados de un
triángulo de ángulos 45-45-90 p6m: Tres simetrías axiales en los lados
de un triángulo de ángulos 30-60-90 cm: Una simetría axial y una
simetría con deslizamiento perpendicular pg: Dos simetrías con
deslizamiento paralelas pgg: Dos simetrías con deslizamiento
perpendiculares Y no hay más. Lo dice el Teorema de Fedorov de
clasificación de grupos cristalográficos planos
16/09/2003
Una joyita: el Teorema de Morley
La
matemática es infinita, a diferencia del mundo real. Nunca acabaremos de
descubrir todos los secretos del humilde conjunto N de números
naturales, por ejemplo, dado que es infinito el número de sus enigmas.
Cualquier rama de la matemática plantea infinitos enigmas, y nunca
tendremos tiempo de desvelarlos todos.Por eso no debe sorprendernos que
ciertos bellos teoremas que conciernen a humildes triángulos planos no
hayan sido descubiertos hasta el siglo XX. Sabemos desde antiguo
que si en cualquier triángulo trazamos las bisectrices (rectas que
dividen cada ángulo en dos partes iguales)de sus tres ángulos, las tres se
cortan en un mismo punto, que denominamos incentro del triángulo.
Ahora bien: ¿qué sucede si en vez de bisectrices trazamos por cada ángulo
las dos rectas que lo dividen en tres ángulos iguales? Pues lo que
ocurre es lo que nos dice el Teorema de Morley : Los
puntos de intersección de las rectas que dividen en tres partes iguales
los ángulos de cualquier triángulo son los vértices de un triángulo
equilátero.Efectivamente, sin importar cómo es el triángulo
inicial, el triángulo interno resultante de unir los puntos de
intersección de las "trisectrices" adyacentes es un perfecto,
increíble y sorprendente triángulo equilátero. Frank Morley (1860-1937)
encontró en 1904 la demostración de bello teorema que hemos reproducido
aquí, y que lleva su nombre. La demostración completa del teorema,
por si alguien quiere seguirla está aquí.
04/09/2003
El teorema de Jordan
Un
teorema es una frase que afirma algo, seguida de la demostración. Este
teorema es extraordinario, único diría yo, por tres motivos: Primero: el
enunciado es tan simple que lo entiende cualquiera, independientemente de
su formación. Segundo: la afirmación que hace parece tan obvia que todo el
mundo se asombra de que “eso” sea un teorema que necesite demostración.
Tercero: la demostración es endiabladamente difícil. Si se hace por
métodos elementales es larguísima y tediosa en extremo; se puede hacer una
demostración mucho más corta, pero para ello hay que invocar conocimientos
muy sofisticados de topología, que es una rama de la matemática de lo que
hablaremos otro día. Una curva de Jordan toda curva plana que
resulte de deformar una circunferencia con la condición adicional de que
no se corte a sí misma. Técnicamente diríamos que una curva J es de Jordan
si es homeomorfa a S1. Esto es menos impresionante de lo que parece a
primera vista. Merece la pena explicarlo. Para empezar S1 es la
nomenclatura de la circunferencia, S2 de la esfera, etc. Y tras la palabra
homeomorfismo se esconde la noción de transformación continua con inversa
continua. Por ejemplo: si deformamos una circunferencia S1 y la
convertimos en una estrella de ocho puntas, cada punto de la primera se
corresponde con un punto de la segunda, no hemos roto la línea en la
deformación, y podemos regresar a la situación inicial volviendo a colocar
cada punto de la estrella en donde estaba antes de comenzar a deformar.
Esto no ocurre si transformamos S1 en un ocho, porque hay un punto de
intersección de la curva consigo mismo y por lo tanto dos puntos de S1
“van a parar” al mismo punto del ocho. Si queremos invertir el proceso, al
punto de intersección del ocho le debiéramos hacer corresponder dos puntos
de S1, lo que tenemos prohibido por definición. Ya sabemos lo que
es una curva de Jordan, y sabemos lo que es un homeomorfismo. Pasamos a
enunciar el teorema: Sea J una curva de Jordan sobre un plano P.
P-J se divide en dos partes, una interior a la curva y otra exterior,
ambas conexas. La interior es acotada, la exterior no lo es y la frontera
común de ambas es precisamente J.C. Jordan conjeturó y creyó
haber demostrado el teorema que llevaría su nombre, pero dicha
demostración era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Murió sin
haberlo demostrado rigurosamente. La primera demostración satisfactoria
del Teorema de Jordan debe esperar hasta 1.905, y es debida a O. Veblen
(Theory of Plane Curves in Nonmetrical Análisis Situs, Trans.AMER.Soc. 6
(1905),83-98). Más tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones
con E.J.Brower, que fueron demostradas por J.W.Alexander en 1922. El
amplio desarrollo de las teorías topológicas de homotopía y homología
trajeron de la mano potentes herramientas para demostrar este teorema en
un par de renglones, pero perdiendo el sentido de inmediatez geométrica, y
por último, existe una demostración clara, elemental y no muy larga
efectuada por R. Maehara utilizando unos resultado previos tales como el
Teorema del punto fijo de Brouwer. Está disponible en la red esta
demostración en la revista Divulgaciones matemáticas, v.6 n=1 (1998),pp
43-60. Se trata de un artículo de dificultad media muy claramente escrito
que recoge perfectamente el sabor de esta parte de la matemática.
Podeis ver dicho artículo aquí.
|